4. Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI cắt tia CB ở K. Kẻ Dx vuông góc...
Câu hỏi:
4. Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI cắt tia CB ở K. Kẻ Dx vuông góc với DI cắt ta BC ở L. Chứng minh rằng:
a, Tam giác DIL là một tam giác cân.
b, Tổng $\frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}$ không đổi khi I di động trên cạnh AB.
5. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Hãy chứng minh:
a, $\frac{CE}{BD}=(\frac{CA}{AB})^{3}$
b, AH$^{3}$ = BC.BD.CE
c, 3AH$^{2}$ + BD$^{2}$ + CE$^{2}$ = BC$^{2}$
d, $\sqrt[3]{BD^{2}}+\sqrt[3]{CE^{2}}=\sqrt[3]{BC^{2}}$
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Đăng Giang
Phương pháp giải câu hỏi trên như sau:4. a. Chứng minh tam giác DIL là tam giác cân:- Ta có $\widehat{A}=\widehat{C}=90^{0}$, $AD = CD = a$, và $\widehat{D_{1}}=\widehat{D_{3}}$, nên $\Delta ADI = \Delta CDL$ (theo góc - cạnh - góc).- Do đó, $DI = DL$, tức tam giác DIL là tam giác cân.b. Chứng minh $\frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}$ không đổi khi I di chuyển trên cạnh AB:- Áp dụng hệ thức Pythagoras vào tam giác DIL và DKL ta có: $\frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}$.- Vì $a$ là độ dài cố định nên $\frac{1}{a^{2}}$ không đổi, do đó $\frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}$ cũng không đổi khi I di chuyển trên cạnh AB.5.a. Chứng minh $\frac{CE}{BD}=(\frac{CA}{AB})^{3}$:- Áp dụng hệ thức về đường cao cho tam giác AHC và AHB, sau đó chia tỷ lệ, ta sẽ đạt được kết quả đúng.b. Chứng minh $AH^{3}=BC.BD.CE$:- Nhân hệ thức về đường cao vào tam giác AHC và AHB lại với nhau, sau đó thay vào hệ thức về đường cao của tam giác ABC, ta sẽ chứng minh được công thức này.c và d. Tương tự như trên, áp dụng các hệ thức Pythagoras và hệ thức về đường cao vào tam giác vuông để chứng minh 2 công thức còn lại.Câu trả lời chi tiết và đầy đủ hơn sẽ được cung cấp sau khi giải câu hỏi một cách chi tiết và đầy đủ.
Câu hỏi liên quan:
{"answer1": "a. Ta có ∠IDL = 90° (vì Dx vuông góc với DI) và ID = IL (do I là trung điểm của AB), nên tam giác DIL là tam giác cân.","answer2": "b. Ta có $\frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{DK^{2}} = \frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{(DC-DI)^{2}} = \frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{(DB)^{2}} = \frac{DB^{2} + DI^{2}}{DI^{2}.DB^{2}} = \frac{DI^{2}+DI^{2}}{DI^{2}.DI^{2}} = \frac{2}{DI^{2}}$ không đổi khi I di chuyển trên cạnh AB.","answer3": "a. Ta có CE = AC - AE và BD = AB - AD. Thay vào CE và BD ta được $\frac{AC-AE}{AB-AD} = (\frac{AC}{AB})^{3}$","answer4": "b. Suy ra AH = $\sqrt{BC.BD.CE}$, nên $AH^{3} = BC.BD.CE$","answer5": "c. Ta có $3AH^{2} + BD^{2} + CE^{2} = 3(BC^{2} - BH^{2}) + BD^{2} + CE^{2} = 3BC^{2} - 3BH^{2} + BD^{2} + CE^{2} = BC^{2}$","answer6": "d. Suy ra $\sqrt[3]{BD^{2}}+\sqrt[3]{CE^{2}}= \sqrt[3]{BC^{2}}$"}