4. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và dây cung CD vuông góc với AB tại điểm H. Gọi I là điểm...
Câu hỏi:
4. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và dây cung CD vuông góc với AB tại điểm H. Gọi I là điểm đối xứng với H qua D, K là trung điểm của đoạn HD. Vẽ dây cung EF đi qua K. Chứng minh bốn điểm E, H, F, I cùng nằm trên một đường tròn.
5. Cho một đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B và C là các tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của OA và BC. Kẻ dây cung DE của đường tròn (O) qua I.
a) Chứng minh bốn điểm A, D, O, E cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng $\widehat{BAD}=\widehat{CAE}$
6. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Chứng minh rằng: AB.CD + BC.AD = AC.BD (định lí Ptô-lê-mê)
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Thị Dung
4.
Phương pháp giải:
- Đặt HK = KD = x.
- Khi đó DI = 2x và KC = 3x.
- Ta thấy bốn điểm E, D, F, C cùng nằm trên đường tròn (O) nên KE.KF = KD.KC.
- Mặt khác, KD.KC = x.3x = 3x^2.
- Từ đó, KH.KI = x.3x = 3x^2.
- Vậy, KD.KC = KH.KI.
- Suy ra KE.KF = KH.KI.
- Do đó, bốn điểm E, H, F, I cùng nằm trên một đường tròn.
5.
a)
Phương pháp giải:
- Bốn điểm B, D, C, E cùng nằm trên đường tròn (O) nên ID.IE = IB.IC = IB^2.
- Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABO vuông tại B, ta có IB^2 = IA.IO.
- Từ đó, ID.IE = IA.IO.
- Chứng tỏ bốn điểm A, D, O, E cùng nằm trên một đường tròn.
b)
- Từ phần a), ta thấy hai cặp góc chắn cung bởi cùng một dây cung là bằng nhau.
- Qua đó, ta có $\widehat{BAE} = \widehat{CAD}$.
- Từ đó, dễ dàng suy ra $\widehat{BAD} = \widehat{CAE}.
6.
Phương pháp giải:
- Giả sử $\widehat{ACD} > \widehat{ACB}$, kẻ tia Cx sao cho $\widehat{xCD} = \widehat{ACB}$.
- Gọi E là giao điểm của Cx với BD.
- Ta thấy $\Delta ABC \sim \Delta DEC$ và $\Delta ACD \sim \Delta BCE$.
- Từ đó, dễ dàng suy ra $AB.CD + BC.AD = AC.BD$.
Vậy là đã giải xong câu hỏi.
Phương pháp giải:
- Đặt HK = KD = x.
- Khi đó DI = 2x và KC = 3x.
- Ta thấy bốn điểm E, D, F, C cùng nằm trên đường tròn (O) nên KE.KF = KD.KC.
- Mặt khác, KD.KC = x.3x = 3x^2.
- Từ đó, KH.KI = x.3x = 3x^2.
- Vậy, KD.KC = KH.KI.
- Suy ra KE.KF = KH.KI.
- Do đó, bốn điểm E, H, F, I cùng nằm trên một đường tròn.
5.
a)
Phương pháp giải:
- Bốn điểm B, D, C, E cùng nằm trên đường tròn (O) nên ID.IE = IB.IC = IB^2.
- Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABO vuông tại B, ta có IB^2 = IA.IO.
- Từ đó, ID.IE = IA.IO.
- Chứng tỏ bốn điểm A, D, O, E cùng nằm trên một đường tròn.
b)
- Từ phần a), ta thấy hai cặp góc chắn cung bởi cùng một dây cung là bằng nhau.
- Qua đó, ta có $\widehat{BAE} = \widehat{CAD}$.
- Từ đó, dễ dàng suy ra $\widehat{BAD} = \widehat{CAE}.
6.
Phương pháp giải:
- Giả sử $\widehat{ACD} > \widehat{ACB}$, kẻ tia Cx sao cho $\widehat{xCD} = \widehat{ACB}$.
- Gọi E là giao điểm của Cx với BD.
- Ta thấy $\Delta ABC \sim \Delta DEC$ và $\Delta ACD \sim \Delta BCE$.
- Từ đó, dễ dàng suy ra $AB.CD + BC.AD = AC.BD$.
Vậy là đã giải xong câu hỏi.
Câu hỏi liên quan:
Một cách khác để chứng minh định lý Ptô-lê-mê là sử dụng định lí của Ptolemee cho tứ giác ABCD trong đường tròn nội tiếp. Theo định lí này, ta có: AB.CD + BC.AD = AC.BD.
Để chứng minh định lý Ptô-lê-mê (AB.CD + BC.AD = AC.BD) trong tứ giác ABCD, ta xét tam giác OAB và tam giác OCD. Sử dụng định lý sinus, ta có AB/ sin AOB = OB/ sin A, và CD/ sin COD = OC/ sin C. Khi chia hai phương trình cho nhau, ta được AB.CD/ (OB.OC) = sin A/ sin C. Tương tự, ta có BC.AD/ (OC.OB) = sin C/ sin A. Tổng hai phương trình trên ta có AB.CD + BC.AD = AC.BD.
Để chứng minh rằng góc BAD = góc CAE, ta xét tam giác OAC. Vì BC là tiếp tuyến của đường tròn nên góc ACB = góc OCA (góc ngoại tiếp của tam giác OAC). Tương tự, ta có góc ABC = góc OAC. Khi kết hợp với góc BAC = góc OAC vì OA là đường phân giác, ta suy ra góc BAD = góc CAE.
Để chứng minh bốn điểm A, D, O, E cùng nằm trên một đường tròn, ta xét tứ giác OADE. Vì OA là đường phân giác góc A, nên ta có góc OAD = góc EAD. Tương tự góc ODA = góc EDA. Khi đó, ta suy ra tứ giác OADE nội tiếp trong đường tròn. Do đó, bốn điểm A, D, O, E đều nằm trên một đường tròn.
Để chứng minh điểm E, H, F, I cùng nằm trên một đường tròn, ta sử dụng tính chất của góc nội tiếp và góc ngoại tiếp. Đầu tiên, ta có góc HDE = 90 độ (do dây cung CD vuông góc với AB tại H). Tương tự góc HFE cũng bằng 90 độ. Khi đó, ta có tứ giác HEFD nội tiếp trong đường tròn. Do đó, ta kết luận rằng bốn điểm E, H, F, I đều nằm trên một đường tròn.