3. Cho tam giác ABC cân tại A (AB = AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng chứa C bờ AB vẽ Bx $\perp...
Câu hỏi:
3. Cho tam giác ABC cân tại A (AB = AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng chứa C bờ AB vẽ Bx $\perp $ BA cắt (B, BH) tại D. Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của (B).
4. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ (A, AH), kẻ các tiếp tuyến BD, CE với (A) (D, E là các tiếp điểm khác H). Chứng minh rằng:
a, Ba điểm D, A, E thẳng hàng.
b, DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.
5. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Gọi E là điểm đối xứng với B qua H. Đường tròn đường kính EC cắt AC ở K. Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Đăng Đức
Để chứng minh các câu hỏi trên, ta có các phương pháp giải như sau:
3. Chứng minh CD là tiếp tuyến của (B):
- Vì tam giác ABC cân tại A nên \( \angle B = \angle C = \alpha \)
- Do \( \angle ABx = 90^\circ \) nên \( \angle B_2 + \alpha = 90^\circ \)
- Tương tự, \( \angle B_1 + \alpha = 90^\circ \) vì tam giác BHC vuông tại H
- Như vậy, \( \angle B_1 = \angle B_2 \)
- Xét tam giác BHC và tam giác BDC ta có: \( \angle B_1 = \angle B_2, BH = BD \) (bán kính đường tròn), cạnh BC chung
- Suy ra tam giác BHC ≅ tam giác BDC (c.g.c)
- Vì \( \angle H = \angle D \) nên CD vuông góc với bán kính BD tại D, suy ra CD là tiếp tuyến của (B)
4.
a) Ta có \( \angle A_1 = \angle A_2 \) và \( \angle A_4 = \angle A_3 \), từ đó suy ra \( \angle A_1 + \angle A_4 = \angle A_2 + \angle A_3 = \angle BAC = 90^\circ \)
=> \( \angle A_1 + \angle A_2 + \angle A_3 + \angle A_4 = \angle DAE = 180^\circ \)
Vậy A, D, E thẳng hàng.
b) Gọi O là trung điểm của BC, thì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A, đường kính BC.
Ta có DA = AE, nên OA là đường trung bình của hình thang BDEC, suy ra OA // BD
Do đó OA vuông góc với DE, nên DE tiếp xúc với đường tròn (O) đường kính BC.
5. Gọi HI vuông góc với AK, thì BA // HI // EK (1) và BH = HE (2) (theo giả thiết)
Từ (1) và (2) suy ra BA, HI, EK là ba đường thẳng song song cách đều, nên AI = IK, suy ra tam giác AHK cân tại H
Do đó \( \angle K_1 = \angle B \)
Lại có \( \angle C_3 = \angle K_2 \) (do OC = OK với O là tâm đường tròn đường kính EC)
Nên \( \angle K_1 + \angle K_2 = 90^\circ \)
Do \( \angle AKC = 180^\circ \) nên \( \angle HKO = 90^\circ \) hay HK vuông góc với bán kính OK tại K
Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính EC.
Như vậy, chúng ta đã chứng minh các câu hỏi trên.
3. Chứng minh CD là tiếp tuyến của (B):
- Vì tam giác ABC cân tại A nên \( \angle B = \angle C = \alpha \)
- Do \( \angle ABx = 90^\circ \) nên \( \angle B_2 + \alpha = 90^\circ \)
- Tương tự, \( \angle B_1 + \alpha = 90^\circ \) vì tam giác BHC vuông tại H
- Như vậy, \( \angle B_1 = \angle B_2 \)
- Xét tam giác BHC và tam giác BDC ta có: \( \angle B_1 = \angle B_2, BH = BD \) (bán kính đường tròn), cạnh BC chung
- Suy ra tam giác BHC ≅ tam giác BDC (c.g.c)
- Vì \( \angle H = \angle D \) nên CD vuông góc với bán kính BD tại D, suy ra CD là tiếp tuyến của (B)
4.
a) Ta có \( \angle A_1 = \angle A_2 \) và \( \angle A_4 = \angle A_3 \), từ đó suy ra \( \angle A_1 + \angle A_4 = \angle A_2 + \angle A_3 = \angle BAC = 90^\circ \)
=> \( \angle A_1 + \angle A_2 + \angle A_3 + \angle A_4 = \angle DAE = 180^\circ \)
Vậy A, D, E thẳng hàng.
b) Gọi O là trung điểm của BC, thì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A, đường kính BC.
Ta có DA = AE, nên OA là đường trung bình của hình thang BDEC, suy ra OA // BD
Do đó OA vuông góc với DE, nên DE tiếp xúc với đường tròn (O) đường kính BC.
5. Gọi HI vuông góc với AK, thì BA // HI // EK (1) và BH = HE (2) (theo giả thiết)
Từ (1) và (2) suy ra BA, HI, EK là ba đường thẳng song song cách đều, nên AI = IK, suy ra tam giác AHK cân tại H
Do đó \( \angle K_1 = \angle B \)
Lại có \( \angle C_3 = \angle K_2 \) (do OC = OK với O là tâm đường tròn đường kính EC)
Nên \( \angle K_1 + \angle K_2 = 90^\circ \)
Do \( \angle AKC = 180^\circ \) nên \( \angle HKO = 90^\circ \) hay HK vuông góc với bán kính OK tại K
Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính EC.
Như vậy, chúng ta đã chứng minh các câu hỏi trên.
Câu hỏi liên quan:
Bình luận (0)