3. Cho tứ giác ABCD có$\widehat{B}=\widehat{D}=90^{0}$.a, Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng...
Câu hỏi:
3. Cho tứ giác ABCD có $\widehat{B}=\widehat{D}=90^{0}$.
a, Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn
b, Nếu AC = BD thì tứ giác ABCD là hình gì?
4. Cho tứ giác ABCD có AC $\perp $ BD. M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Hồng Vương
3.a. Phương pháp giải:- Vì tam giác vuông ABC và ADC có chung cạnh huyền AC nên hai đỉnh góc vuông B, D nằm trên đường tròn đường kính BC.- Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình chữ nhật.- Ta có AC = BD. Vậy BD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD nên $\widehat{A}=90^{0}$.- Do tứ giác có 3 góc vuông, nên tứ giác ABCD là hình chữ nhật.3.b. Phương pháp giải:- Gọi I là giao điểm của AC và BD. Vì AC $\perp$ BD nên $\widehat{I}=\widehat{I_{1}}+\widehat{I_{2}}=90^{0}$.- M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA nên MN // AC // PQ; MQ // BD // NP.- Tứ giác MNPQ là hình bình hành vì MN // AC, MQ // BD và NP // CB.- Ta có $\widehat{N}=\widehat{I}=90^{0}$. Do đó MNPQ là hình chữ nhật.- Hai tam giác vuông MNP và MQP có chung cạnh huyền MP nên hai đỉnh góc vuông N, Q nằm trên đường tròn đường kính MP.Câu trả lời:- Nếu AC = BD, tứ giác ABCD sẽ là hình chữ nhật.- Bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.
Câu hỏi liên quan:
Ngoài ra, ta cũng có thể chứng minh bằng phương pháp đối xứng qua trục của tứ giác ABCD và sử dụng tính chất của điểm trung điểm của cạnh để chứng minh 4 điểm này cùng thuộc một đường tròn.
Để chứng minh rằng 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn khi AC ⊥ BD, ta có thể sử dụng tính chất của đường tròn nội tiếp tứ giác.
Nếu AC = BD và tứ giác ABCD là hình bình hành, tức là AB // CD và AD // BC, thì ta có tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
Nếu AC = BD và tứ giác ABCD là hình thang cân, tức là AB // CD và AD = BC, thì ta có tứ giác ABCD là hình vuông.
Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn, ta cần chỉ ra rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp, tức là các đỉnh của tứ giác nằm trên một đường tròn.