2. Chứng minh rằng với mọi n$\epsilon N*$a, $3^n$-1-2n chia hết chp 4b, $7^n$-$4^n$-$3^n$ chia hết...

a. Phương pháp giải:
- Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
- Với n = 1, ta có $3^1$ - 1 - 2.1 = 0 chia hết cho 4.
- Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, tức là $3^k$ - 1 - 2k chia hết cho 4.
- Sử dụng giả thiết quy nạp, ta chứng minh với n = k + 1:
$3^{k+1}$ - 1 - 2(k+1) = 3.$3^k$ - 1 - 2k - 2k - 2 = 3.$3^k$ - 3 - 6k + 4k = 3($3^k$ - 1 - 2k) + 4k.
- Vì ($3^k$ - 1 - 2k) và 4k đều chia hết cho 4 nên ($3^k$ - 1 - 2k) + 4k chia hết cho 4.
- Do đó, $3^{k+1}$ - 1 - 2(k+1) chia hết cho 4.
- Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b. Phương pháp giải:
- Ta cũng chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
- Với n = 1, ta có $7^1$ - $4^1$ - $3^1$ = 0 chia hết cho 12.
- Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, tức là $7^k$ - $4^k$ - $3^k$ chia hết cho 12.
- Sử dụng giả thiết quy nạp, ta chứng minh với n = k + 1:
$7^{k+1}$ - $4^{k+1}$ - $3^{k+1}$ = 7.$7^k$ - 4.$4^k$ - 3.7.$4^k$ = 7.$7^k$ - 7.$4^k$ - 7.$3^k$ + 3.$4^k$ + 4.$3^k$.
- Khi phân tích ta được: 7($7^k$ - $4^k$ - $3^k$) + 12.$4^{k-1}$ + 12.$3^{k-1}$.
- Vì các phần tử trong dấu ngoặc chia hết cho 12 và 12.$4^{k-1}$ cũng chia hết cho 12 nên tổng cũng chia hết cho 12.
- Do đó, $7^{k+1}$ - $4^{k+1}$ - $3^{k+1}$ chia hết cho 12.
- Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Vậy, từ các phương pháp trên, ta có thể kết luận rằng với mọi số tự nhiên n thuộc tập hợp N*, các biểu thức đã cho đều chia hết cho các số 4 và 12 tương ứng.