Mời thí sinh CLICK vào liên kết hoặc ảnh bên dưới
Mở ứng dụng Shopee để tiếp tục làm bài thi
https://s.shopee.vn/AKN2JyAJAw
https://s.shopee.vn/AKN2JyAJAw
kinhthu.com và đội ngũ nhân viên xin chân thành cảm ơn!
Câu hỏi Toán học Lớp 8
Câu hỏi Lớp 8
Bạn muốn hỏi điều gì?
Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng định lí Fermat:
\[ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) \]
Do \(a+b+c = 0\) nên ta được:
\[ a^3+b^3+c^3 = 3abc \]
Áp dụng vào biểu thức \(R=(a-b)c^3+(b-a)a^3+(c-a)b^3\), ta có:
\[ R = -c^4 + b^4 + a^4 = -c^4 + c^4 = 0 \]
Vậy kết quả của biểu thức \(R\) là 0.
Nếu muốn giải bằng cách khác, bạn có thể chứng minh bằng cách thay \(a = -b-c\) vào biểu thức và rút gọn biểu thức cho đúng công thức \(R = 0\).
Một cách khác, ta có thể sử dụng định lý hoán vị: a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc). Với a + b + c = 0, ta suy ra a^3 + b^3 + c^3 = 3abc. Thay vào biểu thức R=(a-b)c^3+(b-a)a^3+(c-a)b^3, ta có R = 0.
Sử dụng định lí Vandermonde: a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc). Dùng công thức a + b + c = 0, ta tính được a^2 + b^2 + c^2 = 2(ab + ac + bc). Thay vào biểu thức R=(a-b)c^3+(b-a)a^3+(c-a)b^3, ta có R = 2abc(a + b + c) = 0.
Với a + b + c = 0, ta thấy biểu thức R=(a-b)c^3+(b-a)a^3+(c-a)b^3 có dạng đối xứng khi hoán vị a, b, c. Vậy R cũng sẽ bằng 0.
Từ a + b + c = 0, suy ra a + b = -c. Thay vào biểu thức R=(a-b)c^3+(b-a)a^3+(c-a)b^3, ta có R = (-2b)c^3 - (2a)a^3 + (a + b)b^3 = -2bc^3 - 2a^4 + b^4 + ab^3.