Bài tập 8.Cho tam giác $A B C$ có $A B=2, A C=3, \widehat{B A C}=60^{\circ}$. Gọi $M$ là...
Câu hỏi:
Bài tập 8. Cho tam giác $A B C$ có $A B=2, A C=3, \widehat{B A C}=60^{\circ}$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $B C$. Điểm $D$ thoả mãn $\overrightarrow{A D}=\frac{7}{12} \overrightarrow{A C}$.
a. Tính $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}$.
b. Biểu diễn $\overrightarrow{A M}, \overrightarrow{B D}$ theo $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$.
c. Chứng minh $A M \perp B D$.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Hồng Ánh
Để giải câu hỏi trên, ta thực hiện các bước sau:
a. Tính $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}$:
Ta có $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C} = AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC$.
Với $AB = 2, AC = 3, \angle BAC = 60^\circ$, ta tính được: $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C} = 2 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = -3$.
b. Biểu diễn $\overrightarrow{A M}, \overrightarrow{B D}$ theo $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$:
- $\overrightarrow{A M} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{A C} + \overrightarrow{A B})$.
- $\overrightarrow{B D} = -\overrightarrow{A B} + \frac{7}{12} \overrightarrow{A C}$.
c. Chứng minh $A M \perp B D$:
Ta cần chứng minh $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{B D} = 0$.
Thay các giá trị ta có: $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{B D} = \frac{1}{2}(\frac{7}{12} \overrightarrow{A C}^2 - \frac{5}{12} \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A B} - \overrightarrow{A B}^2) = 0$.
Vậy $A M \perp B D$.
Câu trả lời:
a. $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C} = -3$.
b. $\overrightarrow{A M} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{A C} + \overrightarrow{A B})$ và $\overrightarrow{B D} = -\overrightarrow{A B} +\frac{7}{12} \overrightarrow{A C}$.
c. $A M \perp B D$.
a. Tính $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}$:
Ta có $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C} = AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC$.
Với $AB = 2, AC = 3, \angle BAC = 60^\circ$, ta tính được: $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C} = 2 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = -3$.
b. Biểu diễn $\overrightarrow{A M}, \overrightarrow{B D}$ theo $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$:
- $\overrightarrow{A M} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{A C} + \overrightarrow{A B})$.
- $\overrightarrow{B D} = -\overrightarrow{A B} + \frac{7}{12} \overrightarrow{A C}$.
c. Chứng minh $A M \perp B D$:
Ta cần chứng minh $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{B D} = 0$.
Thay các giá trị ta có: $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{B D} = \frac{1}{2}(\frac{7}{12} \overrightarrow{A C}^2 - \frac{5}{12} \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A B} - \overrightarrow{A B}^2) = 0$.
Vậy $A M \perp B D$.
Câu trả lời:
a. $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C} = -3$.
b. $\overrightarrow{A M} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{A C} + \overrightarrow{A B})$ và $\overrightarrow{B D} = -\overrightarrow{A B} +\frac{7}{12} \overrightarrow{A C}$.
c. $A M \perp B D$.
Câu hỏi liên quan:
Như vậy, ta đã chứng minh được $AM \perp BD$.
c. Để chứng minh $AM \perp BD$, ta cần chứng minh $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BD} = 0$. Thay các giá trị ta được $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BD} = \left(\frac{1}{2} (2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC})\right) \cdot \left(\overrightarrow{AB} + \frac{7}{12} \overrightarrow{AC}\right) = \frac{1}{2}(2AB^2 + 3AB \cdot AC + 7AB + \frac{21}{12}AC^2) = 0$.
b. Ta có $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ và $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \frac{7}{12} \overrightarrow{AC}$. Thay các giá trị vào ta được $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} (2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC})$ và $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \frac{7}{12} \overrightarrow{AC}$.
a. Ta có $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos{\widehat{BAC}} = 2 \cdot 3 \cdot \cos{60^\circ} = 3$.