Cmr a^4 + b^4 >= a^3b + ab^3
Mọi người ơi, mình đang rối bời không biết làm thế nào ở đây. Bạn nào đi qua cho mình xin ít hint với!
Các câu trả lời
Câu hỏi Toán học Lớp 8
- Cho Tam giác abc vuông tại a biết an= 6 ac= 8 a) tính bc b) ad là đường phân...
- CrO3 là oxit axit mặc dù Cr là kim loại Cô giải thích là vì Cr là kim loại có hóa trị cao trên được xếp vào loại oxit...
- Trong hộp có 3 bóng đen, 4 bóng xanh và 5 bóng đỏ. Hỏi có bao nhiêu...
- Cho hình bình hành ABCD. Từ A và C kẻ AE vuông góc với BD, CF vuông góc với BD. Chứng minh rằng AE, CF là hình bình...
- Cho hàm số y= 2+ x, vẽ đồ thị hàm số của y khi x = -2,-1,0,1,2,3 Cho hàm số y = 2 - x, vẽ đồ...
- các bạn nào vẽ được doraemon không? vẽ giùm mình đi chứ mình vẽ ra con...
- Một xe máy đi từ Lạng Sơn về Nam Định với vận tốc 42km/ giờ rồi từ Nam Định về Lạng Sơn với vận tốc 36km/ giờ,...
- theo nhà phát hành của rạp chiếu phim cgv, doanh thu của phim chiếu rạp "avengers endgame đạt gần 30,7 tỷ đồng, cao...
Câu hỏi Lớp 8
- Số hoàn hảo là số mà tổng các ước của nó bằng 2 lần chính...
- III. Complete each sentence with an appropriate word. The first letter of each word is given. 1. The fish have died...
- 1. How long have you worked here ? When.........
- An và Nam đang tiến hành lắp đặt mạch điều khiển sử dụng mô đun cảm biến ánh sáng...
Bạn muốn hỏi điều gì?
Đặt câu hỏix
- ²
- ³
- √
- ∛
- ·
- ×
- ÷
- ±
- ≈
- ≤
- ≥
- ≡
- ⇒
- ⇔
- ∈
- ∉
- ∧
- ∨
- ∞
- Δ
- π
- Ф
- ω
- ↑
- ↓
- ∵
- ∴
- ↔
- →
- ←
- ⇵
- ⇅
- ⇄
- ⇆
- ∫
- ∑
- ⊂
- ⊃
- ⊆
- ⊇
- ⊄
- ⊅
- ∀
- ∠
- ∡
- ⊥
- ∪
- ∩
- ∅
- ¬
- ⊕
- ║
- ∦
- ∝
- ㏒
- ㏑
Để giải câu hỏi này, ta có thể sử dụng một số phương pháp khác nhau.Phương pháp 1: Sử dụng định lí AM-GMTa có: a^4 + a^4 + b^4 + b^4 >= 4(a^4b^4)^(1/4) = 4abVì a^4 + a^4 + b^4 + b^4 = 2(a^4 + b^4) >= 4abNên a^4 + b^4 >= a^3b + ab^3Phương pháp 2: Sử dụng điều kiện cần và đủ để hàm số đạt giá trị nhỏ nhấtTa xét hàm số f(x) = x^4 - x^3b - ab^3 (với x >= 0)Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số này, ta sẽ xem xét đạo hàm f'(x) và tìm các điểm cực trị của hàm số.f'(x) = 4x^3 - 3x^2bĐiểm cực trị của hàm số là nghiệm của phương trình f'(x) = 04x^3 - 3x^2b = 0x(4x - 3b) = 0=> x = 0 hoặc x = 3b/4Khi x = 0, ta có f(0) = 0^4 - 0^3b - ab^3 = -ab^3 < 0Khi x = 3b/4, ta có f(3b/4) = (3b/4)^4 - (3b/4)^3b - ab^3 > 0Vậy hàm số f(x) không có điểm cực trị và nội dung của bài toán được chứng minh.Đáp án: a^4 + b^4 >= a^3b + ab^3
Câu trả lời 1:Để chứng minh a^4 + b^4 >= a^3b + ab^3, ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM.Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho mỗi cặp số (a^4, b^4) ta được:(a^4 + b^4)/2 ≥ √(a^4 * b^4)⇒ a^4 + b^4 ≥ 2 * ab^2Áp dụng lần thứ hai cho cặp số (ab^2, ab^2) ta có:(ab^2 + ab^2)/2 ≥ √(ab^2 * ab^2)⇒ ab^2 + ab^2 ≥ 2 * a * (b^2)^(1/2)⇒ ab^2 + ab^2 ≥ 2ab^2Từ hai bất đẳng thức trên, ta có:a^4 + b^4 ≥ 2 * ab^2 ≥ 2ab^2⇒ a^4 + b^4 ≥ 2ab^2Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.Vậy, a^4 + b^4 ≥ a^3b + ab^3 đúng với mọi giá trị của a và b.Câu trả lời 2:Cũng từ bất đẳng thức AM-GM, ta có:(a^4 + b^4)/2 ≥ √(a^4 * b^4)⇒ a^4 + b^4 ≥ 2 * (a^4 * b^4)^(1/2)Ta sẽ chứng minh rằng (a^4 * b^4)^(1/2) ≥ a^3b + ab^3.Ta có:(a^4 * b^4)^(1/2) ≥ a^3b + ab^3⇔ (ab^2) * (a^2b^2)^(1/2) ≥ a^3b + ab^3⇔ ab^2 * ab ≥ a^3b + ab^3⇔ a^2b^3 ≥ a^3b + ab^3⇔ a^2b^3 - a^3b - ab^3 ≥ 0⇔ ab^2(b - a) - ab(b^2 - a^2) ≥ 0⇔ ab^2(b - a) - ab(b - a)(b + a) ≥ 0⇔ ab(b - a)(b + a - b) - ab(b - a)(b + a) ≥ 0⇔ ab(b - a)[1 - (b + a)] ≥ 0⇔ ab(b - a)(1 - (b + a)) ≥ 0⇔ ab(b - a)(a + b - 1) ≥ 0Giả sử a ≥ b.Nếu a > 1, ta có b > 1 và a + b - 1 > 0, từ đó ab(b - a)(a + b - 1) > 0, nên bất đẳng thức ban đầu đúng.Nếu a ≤ 1, ta có a + b - 1 ≤ 1 + b - 1 = b, từ đó ab(b - a)(a + b - 1) ≥ 0, nên bất đẳng thức ban đầu đúng.Với trường hợp b ≥ a, tương tự ta cũng chứng minh được bất đẳng thức ban đầu đúng.Vậy, a^4 + b^4 ≥ a^3b + ab^3 đúng với mọi giá trị của a và b.