Cmr a^4 + b^4 >= a^3b + ab^3
Mọi người ơi, mình đang rối bời không biết làm thế nào ở đây. Bạn nào đi qua cho mình xin ít hint với!
Các câu trả lời
Câu hỏi Toán học Lớp 8
- Một quả dứa có giá 17c. Có thể mua được bao nhiêu quả dứa với giá 5 USD?
- Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 4(2-x)^2+xy-2y b) 2(x-1)^3-5(x-1)^2-(x-1) c) x^3+y^3+z^3-3xyz HELP ME,...
- phân tích đa thức thành nhân tử sau đó giải pt như pt tích. -11y2 - 5y +2 =...
- we seldom(eat) before 6.30
- Cho ABC cân tại ABC cân tại A, có H là trung điểm của cạnh BC. Vẽ HI vuông...
- cho tam giác MBC vuông tại M(MB<MC) tia pg của góc B cắt MC tại H. Qua C kẻ đường thẳng...
- Tìm m để phương trình vô nghiệm (2m-1)x+3m-5=0
- bạn nào có một số bài toán nâng cao về bất phương trình không gửi cho mình với MÌNH CẢM ƠN TRƯỚC MẤY BẠN MÀ CHO MÌNH ĐỀ...
Câu hỏi Lớp 8
- Bằng cảm nhận văn học, em hãy viết một bài văn từ 1 đến 1,5 trang giấy thi phân tích những...
- phân đạm Urê được điều chế bằng cách cho khí CO2 tác dụng với khí NH3 ở nhiệt độ...
- Rewrite the sentence using Whose 1.Who does this book belong to ? ->
- bạn an đang có ý định lắp 1 bộ cảm biển cho vườn rau để khi về quê rau ko bị chết nên lắp...
- . Nung hoàn toàn 7,8g nhôm hidroxit Al(OH)3 thu đc 0,05 mol nhôm oxit Al2O3 và hơi...
- viết chương trình xét xem một tam giác có là tam giác đều hay không với ba cạnh là các số được nhập vào từ bàn phím
- vẽ sơ đồ tư duy phong trào công dân giúp mình vs lịch sử 8 nhé
- 4 (trang 25 sgk Tiếng Anh 8 Global Success): Work in groups. Discuss and write what you like or dislike about like in...
Bạn muốn hỏi điều gì?
Đặt câu hỏix
- ²
- ³
- √
- ∛
- ·
- ×
- ÷
- ±
- ≈
- ≤
- ≥
- ≡
- ⇒
- ⇔
- ∈
- ∉
- ∧
- ∨
- ∞
- Δ
- π
- Ф
- ω
- ↑
- ↓
- ∵
- ∴
- ↔
- →
- ←
- ⇵
- ⇅
- ⇄
- ⇆
- ∫
- ∑
- ⊂
- ⊃
- ⊆
- ⊇
- ⊄
- ⊅
- ∀
- ∠
- ∡
- ⊥
- ∪
- ∩
- ∅
- ¬
- ⊕
- ║
- ∦
- ∝
- ㏒
- ㏑
Để giải câu hỏi này, ta có thể sử dụng một số phương pháp khác nhau.Phương pháp 1: Sử dụng định lí AM-GMTa có: a^4 + a^4 + b^4 + b^4 >= 4(a^4b^4)^(1/4) = 4abVì a^4 + a^4 + b^4 + b^4 = 2(a^4 + b^4) >= 4abNên a^4 + b^4 >= a^3b + ab^3Phương pháp 2: Sử dụng điều kiện cần và đủ để hàm số đạt giá trị nhỏ nhấtTa xét hàm số f(x) = x^4 - x^3b - ab^3 (với x >= 0)Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số này, ta sẽ xem xét đạo hàm f'(x) và tìm các điểm cực trị của hàm số.f'(x) = 4x^3 - 3x^2bĐiểm cực trị của hàm số là nghiệm của phương trình f'(x) = 04x^3 - 3x^2b = 0x(4x - 3b) = 0=> x = 0 hoặc x = 3b/4Khi x = 0, ta có f(0) = 0^4 - 0^3b - ab^3 = -ab^3 < 0Khi x = 3b/4, ta có f(3b/4) = (3b/4)^4 - (3b/4)^3b - ab^3 > 0Vậy hàm số f(x) không có điểm cực trị và nội dung của bài toán được chứng minh.Đáp án: a^4 + b^4 >= a^3b + ab^3
Câu trả lời 1:Để chứng minh a^4 + b^4 >= a^3b + ab^3, ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM.Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho mỗi cặp số (a^4, b^4) ta được:(a^4 + b^4)/2 ≥ √(a^4 * b^4)⇒ a^4 + b^4 ≥ 2 * ab^2Áp dụng lần thứ hai cho cặp số (ab^2, ab^2) ta có:(ab^2 + ab^2)/2 ≥ √(ab^2 * ab^2)⇒ ab^2 + ab^2 ≥ 2 * a * (b^2)^(1/2)⇒ ab^2 + ab^2 ≥ 2ab^2Từ hai bất đẳng thức trên, ta có:a^4 + b^4 ≥ 2 * ab^2 ≥ 2ab^2⇒ a^4 + b^4 ≥ 2ab^2Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.Vậy, a^4 + b^4 ≥ a^3b + ab^3 đúng với mọi giá trị của a và b.Câu trả lời 2:Cũng từ bất đẳng thức AM-GM, ta có:(a^4 + b^4)/2 ≥ √(a^4 * b^4)⇒ a^4 + b^4 ≥ 2 * (a^4 * b^4)^(1/2)Ta sẽ chứng minh rằng (a^4 * b^4)^(1/2) ≥ a^3b + ab^3.Ta có:(a^4 * b^4)^(1/2) ≥ a^3b + ab^3⇔ (ab^2) * (a^2b^2)^(1/2) ≥ a^3b + ab^3⇔ ab^2 * ab ≥ a^3b + ab^3⇔ a^2b^3 ≥ a^3b + ab^3⇔ a^2b^3 - a^3b - ab^3 ≥ 0⇔ ab^2(b - a) - ab(b^2 - a^2) ≥ 0⇔ ab^2(b - a) - ab(b - a)(b + a) ≥ 0⇔ ab(b - a)(b + a - b) - ab(b - a)(b + a) ≥ 0⇔ ab(b - a)[1 - (b + a)] ≥ 0⇔ ab(b - a)(1 - (b + a)) ≥ 0⇔ ab(b - a)(a + b - 1) ≥ 0Giả sử a ≥ b.Nếu a > 1, ta có b > 1 và a + b - 1 > 0, từ đó ab(b - a)(a + b - 1) > 0, nên bất đẳng thức ban đầu đúng.Nếu a ≤ 1, ta có a + b - 1 ≤ 1 + b - 1 = b, từ đó ab(b - a)(a + b - 1) ≥ 0, nên bất đẳng thức ban đầu đúng.Với trường hợp b ≥ a, tương tự ta cũng chứng minh được bất đẳng thức ban đầu đúng.Vậy, a^4 + b^4 ≥ a^3b + ab^3 đúng với mọi giá trị của a và b.