Chứng minh rằng với n \(\in\) N* thì : a) \(1^2+2^2+...+n^2=\frac{n.\left(n+1\right).\left(2n+1\right)}{6}\) b) \(1^3+2^3+...+n^3=\left[\frac{n.\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)

Đỗ Đăng Hưng

Để chứng minh hai công thức trên, chúng ta có thể sử dụng phương pháp "chứng minh qua từng bước", tức là chứng minh từng bước riêng biệt sau đó kết hợp lại để chứng minh rằng cả công thức đều đúng cho mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).

Phương pháp giải bài toán này gồm hai bước.

Bước 1: Giả sử công thức đúng đối với một số tự nhiên \(k\) nào đó, tức là chúng ta có thể viết:

a) \[1^2 + 2^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\]

b) \[1^3 + 2^3 + \ldots + k^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2\]

Bước 2: Chứng minh công thức đúng đối với số tự nhiên \(k+1\), tức là chúng ta cần chứng minh:

a) \[1^2 + 2^2 + \ldots + (k+1)^2 = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\]

b) \[1^3 + 2^3 + \ldots + (k+1)^3 = \left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2\]

Giả sử công thức đúng cho \(k\), tức là \[1^2 + 2^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\] và \[1^3 + 2^3 + \ldots + k^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2\]

a) Chứng minh cho công thức (a):

Đầu tiên, ta thấy rằng \[(k+1)^2 = k^2 + 2k + 1\]
Suy ra, \[1^2 + 2^2 + \ldots + k^2 + (k+1)^2 = \left(1^2 + 2^2 + \ldots + k^2 \right) + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + k^2 + 2k + 1\]
\[= \frac{k(k+1)(2k+1) + 6k^2 + 12k + 6}{6} = \frac{2k^3 + 9k^2 + 13k + 6}{6}\]
\[= \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\]

Vậy, công thức (a) đúng cho \(k+1\).

b) Chứng minh cho công thức (b):

Đầu tiên, ta thấy rằng \((k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1\)
Suy ra, \[1^3 + 2^3 + \ldots + k^3 + (k+1)^3 = \left(1^3 + 2^3 + \ldots + k^3\right) + (k+1)^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 + k^3 + 3k^2 + 3k + 1\]
\[= \left(\frac{k^2(k+1)^2}{4}\right) + \left(\frac{4k^3 + 12k^2 + 12k + 4}{4}\right)\]
\[= \frac{k^2(k+1)^2 + 4k^3 + 12k^2 + 12k + 4}{4} = \frac{(k+1)^2(k^2 + 4k + 4)}{4} = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}\]

Vậy, công thức (b) đúng cho \(k+1\).

Sau khi chứng minh được công thức đúng cho mọi \(k\), ta có thể kết luận rằng cả hai công thức đều đúng cho mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).

Vậy câu trả lời cho câu hỏi trên là:

a) \(1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

b) \(1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\)